题目内容

2.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1.

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,(a>b>0),根据题目条件得出a2-b2=1,①,$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{(\frac{3}{2})^{2}}{{b}^{2}}$=1,②由①②联合求解即可.

解答 解:
设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,(a>b>0)
∵可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1,
∴a2-b2=1,①AB经过右焦点F2且垂直于x轴,
且|AB|=3,
A(1,$\frac{3}{2}$),(1,-$\frac{3}{2}$),
代入方程得出:$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{(\frac{3}{2})^{2}}{{b}^{2}}$=1,②
联合①②得出a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程为:$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1,
故答案为:$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1

点评 本题考察了椭圆的几何性质,方程的求解,属于中档题,关键是运用待定系数法求解,列出方程组即可.

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