题目内容
12.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,求数列{an}的通项公式.分析 利用已知条件构造等差数列,然后求解数列{an}的通项公式
解答 解:(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),等价为(an+1-1)(an-1)=3[(an-1)-(an+1-1)],
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$,
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列,首项为$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{2-1}=1$,公差d=$\frac{1}{3}$,
则$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+$\frac{1}{3}$(n-1)=$\frac{n+2}{3}$,
则an-1=$\frac{3}{n+2}$,
即an=1+$\frac{3}{n+2}$=$\frac{n+5}{n+2}$.
点评 本题考查等差数列通项公式的求法,数列递推关系式的应用,考查计算能力.构造等差数列是解决本题的关键.
练习册系列答案
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2.若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数.则下列命题中为真的是( )
A. | p且q | B. | p或q | C. | 非p | D. | 非p且非q |