题目内容

【题目】已知函数 .

(1)若,讨论函数的单调性;

(2)是否存在实数,对任意 , 有恒成立,若存在,求出的范围,若不存在,请说明理由;

(3)记,如果是函数的两个零点,且 的导函数,证明: .

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】试题分析(1)求导得 三种情况讨论可得的单调区间.

(2) 恒成立,不妨设,即,令,则上为增函数,只要恒成立求解即可.

(3)利用,( )是函数的两个零点这一条件得,两式推出关于,和a的一个等式,即可利用表示。求出之后,将代入得,构造函数,其中,利用导数求得其最大值为零,又表达式中, ,得证.

试题解析:(1)的定义域为

①若,则 上单调递增;

②若,则,而,∴

时, ;当

所以上单调递减,在单调递增;

③若,则,同理可得上单调递减,在单调递增.

(2)假设存在,对任意,有恒成立,

不妨设,只要,即

,只要上为增函数,

只要恒成立,只要,故存在时,对任意,有恒成立.

(3)由题意知,

两式相减,整理得,所以

,又因为

所以

,则

所以上单调递减,故

,所以

点晴:本题主要考查函数单调性,不等式恒成立,及不等式的证明问题.要求单调性,求导比较导方程的根的大小,解不等式可得单调区间,要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调,只需要证明其导函数大于等于0(或者恒小于等于0即可),要证明一个不等式,我们可以先根据题意构造新函数,求其值最值即可.这类问题的通解方法就是:划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.

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