题目内容
【题目】已知函数, .
(1)若,讨论函数的单调性;
(2)是否存在实数,对任意, , 有恒成立,若存在,求出的范围,若不存在,请说明理由;
(3)记,如果是函数的两个零点,且, 是的导函数,证明: .
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析(1)求导得分, , 三种情况讨论可得的单调区间.
(2) 恒成立,不妨设,即,令,则在上为增函数,只要在恒成立求解即可.
(3)利用,( )是函数的两个零点这一条件得,两式推出关于,和a的一个等式,即可利用表示。求出之后,将代入得,构造函数,其中,利用导数求得其最大值为零,又表达式中, ,得证.
试题解析:(1)的定义域为
①若,则, , 在上单调递增;
②若,则,而,∴,
当时, ;当及时,
所以在上单调递减,在及单调递增;
③若,则,同理可得在上单调递减,在及单调递增.
(2)假设存在,对任意,有恒成立,
不妨设,只要,即,
令,只要在上为增函数,
只要在恒成立,只要,故存在时,对任意,有恒成立.
(3)由题意知,
两式相减,整理得,所以
,又因为,
所以
令,则,
所以在上单调递减,故
又,所以
点晴:本题主要考查函数单调性,不等式恒成立,及不等式的证明问题.要求单调性,求导比较导方程的根的大小,解不等式可得单调区间,要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调,只需要证明其导函数大于等于0(或者恒小于等于0即可),要证明一个不等式,我们可以先根据题意构造新函数,求其值最值即可.这类问题的通解方法就是:划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.
【题目】某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有, 两种“共享单车”(以下简称型车, 型车).某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况.
(Ⅰ)某日该学习小组进行一次市场体验,其中4人租到型车,3人租到型车.如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到型车的概率;
(Ⅱ)根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告,小组同学发现3月,4月的用户租车情况城现如表使用规律.例如,第3个月租型车的用户中,在第4个月有的用户仍租型车.
第3个月 第4个月 | 租用型车 | 租用型车 |
租用型车 | ||
租用型车 |
若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年3月该地区租用,