Question

【题目】椭圆一个焦点为，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程式．

（Ⅱ）定点，为椭圆上的动点，求的最大值；并求出取最大值时点的坐标求．

（Ⅲ）定直线，为椭圆上的动点，证明点到的距离与到定直线的距离的比值为常数，并求出此常数值．

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为；（2）最大值为，此时点坐标为；（3）到的距离与到定直线的距离之比为常数．

【解析】分析：（Ⅰ）由椭圆一个焦点为，可知椭圆的焦点在轴上，且。进而由离心率，可得。再由求得。可得椭圆的方程为。（Ⅱ）要求的最大值，应设坐标，用两点间的距离公式表示出来，然后求最值。

设点坐标为，则。进而可得，由椭圆的性质可得，由二次函数的性质可得当时，取得最大值．此时点坐标为。

（Ⅲ）设点，则，所以点到的距离为：，由椭圆的性质可得的范围，所以 。可得点到直线的距离为，进而可得，所以到的距离与到定直线的距离之比为常数。

详解：（Ⅰ）根据题意得，，

∴，，

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）设点坐标为，则，

所以

所以，

∵，

∴当时，取得最大值．

∴最大值为，此时点坐标为．

（Ⅲ）设点，则，

所以

所以点到的距离为：，

由椭圆的性质可得

所以

所以点到直线的距离为，

所以，

故到的距离与到定直线的距离之比为常数．