题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0），若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
（1）求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
（2）求p的取值范围．
【答案】
（1）解：∵抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，
∴直线l是线段PQ的垂直平分线∴PQ的斜率为﹣1，
设PQ的方程为：y=﹣x+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），
线段PQ的中点为M（xM，yM），由 
，
∴x2﹣2（p+b）x+b2=0（*），
∴ 
，
∴x1+x2=2（p+b），
∴xM=（p+b），∴M（p+b，﹣p），
又∵M在直线l上，∴p+b﹣（﹣p）﹣2=0，
∴b=2﹣2p，
∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）
（2）解：在（1）中（*）式：x2﹣2（p+b）x+b2=0及b=2﹣2p，
∴x2﹣2（2﹣p）x+（2﹣2p）2=0
∵相交于P、Q两点
∴△=（4﹣2p）2﹣4（2﹣2p）2＞0
∴3p2﹣4p＜0，∴ 
．
【解析】（1）根据题意得到：直线l是线段PQ的垂直平分线，从而设出直线PQ的方程，将问题转化为：直线PQ与抛物线C交于点P，Q，求线段PQ的中点M的坐标；（2）将相交于P，Q两点变为医院二次方程有两个实数根来求得p的取值范围.
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