Question

14．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e有且只有一个零点，则k的值为（　　）

• A． e+$\frac{1}{{e}^{2}}$
• B． e²+$\frac{1}{e}$
• C． e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$
• D． e+$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e=0可得k=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex；再设g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，从而求导得g′（x）=$\frac{ln\frac{e}{x}}{{x}^{2}}$-2（x-e）；利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex与直线y=k的图象的交点判断即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e的定义域为（0，+∞），
令f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e=0可得k=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex；
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，
则g′（x）=$\frac{ln\frac{e}{x}}{{x}^{2}}$-2（x-e）；
故当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e；当g′（x）=0时，则x=e；
∴g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
故x=e时g（x）最大值为g（e）=e²+$\frac{1}{e}$，
∵函数f（x）=）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e有且只有一个零点，
∴函数y=k与g（x）只有一个交点，
故结合图象可知，k=e²+$\frac{1}{e}$，
故选B．

点评 本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．