Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣k）ex ． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）ex，

令f′（x）=0，得x=k﹣1，

f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x	（﹣∞，k﹣1）	k﹣1	（k﹣1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	↓	﹣ek﹣1	↑

∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；

（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，

∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；

当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，

∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣ek﹣1；

当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，

∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；

综上所述f（x）min=

【解析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．