Question

【题目】已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象的一个最高点．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求函数的值域；

（3）把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数在上是单调增函数，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）由是该函数图象的一个最高点求出，由周期为求出，由特殊点的坐标求出的值，从而可得函数的解析式；（2）由可求的，利用正弦函数的性质可求其值域；（3）利用三角函数平移变换规律可求，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，结合范围，可求的取值范围.

试题解析：（1）∵由题意可得，A=2， =π，∴ω=2．

∵再根据函数的图象经过点M（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得=，∴f（x）=2sin（2x+）．

（2）∵x∈[﹣，0]，

∴2x+∈[﹣，]，

∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，

得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），

∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，

可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，

∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，

∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，，∴当k=0时，θ∈[，]．