Question

【题目】（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：

，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

Answer 1

【答案】（1）不会获利，至少补贴5 000元（2）400

【解析】

试题分析：（1）解决实际问题关键为读懂题意：能否获利，决定于利润是否为正，故列出利润S函数关系式S＝200x－＝－x2＋400x－80 000＝－ （x－400）2，当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利，补贴的标准为S取得最大值-5 000，而不是最小值（2）先列出每吨的平均处理成本的函数关系式，为一个分段函数，需分段求最值，最后比较两段最小值的较小值为所求.

试题解析：（1）当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，

则S＝200x－＝－x2＋400x－80 000＝－ （x－400）2，

所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.

当x＝300时，S取得最大值-5 000，

所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.

（2）由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为

①当x∈[120,144）时，＝x2－80x＋5 040＝ （x－120）2＋240，

所以当x＝120时，取得最小值240.

②当x∈[144,500]时，＝x＋－200≥2－200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.因为200<240，

答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.