题目内容

【题目】对于无穷数列,若对任意,满足是与无关的常数),则称数列数列.

(1)若),判断数列是否为数列,说明理由;

(2)设,求证:数列数列,并求常数的取值范围;

(3)设数列),问数列是否为数列?说明理由.

【答案】(1)数列,见解析;(2);证明见解析;(3)见解析.

【解析】

1)由,得到,整理后可得当为偶数时,进而可得得到数列不是数列;

(2)由,得到时,,此时数列单调递增,当时,,此时数列单调递减,得到数列的最大项,由此求得常数的取值范围;

3)当时,对于,可得当时数列数列,当时,数列不是数列,当时,数列不是数列.

1)由

可得

为偶数时,,所以数列不是数列.

(2)证明:因为

所以当时,即时,,此时数列单调递增,

时,,此时数列单调递减,

则数列的最大项为,所以的取值范围内是.

3)①当时,当时,

,解得

即当时,符合

,则,此时

于是

由对于,有,所以当时,数列数列;

②当时,取,则

,所以当时,数列不是数列;

③当时,取,则

,所以当时,数列不是数列.

综上可得:当时,数列数列;当时,数列不是数列.

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