题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，证明：直线AB过定点 $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）∵椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为F₁，F₂，
点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形，
∴b=2， $\text{[math]}$ ，
所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ． …（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，
依题意m≠±2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ ，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．…（7分）
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即2k+（m-2）• $\text{[math]}$ =8．…（10分）
所以k=- $\text{[math]}$ ，整理得 m= $\text{[math]}$ ．
故直线AB的方程为y=kx+ $\text{[math]}$ ，即y=k（x+ $\text{[math]}$ ）-2．
所以直线AB过定点（- $\text{[math]}$ ，-2）． …（12分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，
设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ．此时AB方程为x=- $\text{[math]}$ ，显然过点（- $\text{[math]}$ ，-2）．
综上，直线AB过定点（- $\text{[math]}$ ，-2）．…（13分）
分析：（Ⅰ）由题设条件知b=2， $\text{[math]}$ ，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．由 $\text{[math]}$ ，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由韦达定理结合题设条件能够导出直线AB过定点（- $\text{[math]}$ ，-2）．若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，由题设条件能够导出直线AB过定点（- $\text{[math]}$ ，-2）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．