Question

【题目】斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上.

（1）求的值；

（2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）设直线的方程为，代入抛物线的方程，利用韦达定理得到，由的中点在上，即可求解；

（2）根据圆的弦长公式，分别求解，利用求得实数的值，进而得到答案.

（1）设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得，x2－2kx－2m＝0，

＝4k2＋8m，

x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m，

因为AB的中点在x＝1上，

所以x1＋x2＝2．

即2k＝2，

所以k＝1．

（2）O到直线l的距离d＝，|CD|＝2，

所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝2·，

因为|AB|＝|CD|,

所以2·＝2，

化简得m2＋8m－20＝0，

所以m＝－10或m＝2．

由得－＜m＜2．

所以m＝2，

直线l的方程为y＝x＋2．