题目内容
下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”．
②双曲线
-
=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且
•
=0，则此双曲线的离心率为
．
③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则a、c、b成等比数列．
④已知
，
是夹角为120°的单位向量，则向量λ
+
与
-2
垂直的充要条件是λ=
．
①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”．
②双曲线
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AB |
| BF |
| ||
| 2 |
③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则a、c、b成等比数列．
④已知
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 5 |
| 4 |
分析：①利用命题的否定，即可判断其真假；
②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，
③将cosB=-cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判断③的正误；
④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．
②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，
③将cosB=-cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判断③的正误；
④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．
解答：解：①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x0∈R，使得x03+1≥0”，故①错误；
②，依题意，F（c，0），A（-a，0），∵点B（0，b），
∴
=（a，b），
=（c，-b），
∵
•
=0，
∴ac-b2=0，而b2=c2-a2，
∴c2-ac-a2=0，两端同除以a2得：e2-e-1=0，
解得e=
或e=
（舍去），
故②正确；
③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，
∴cosB=-cos（A+C），
∴原式化为：cos2B-cos（A+C）+cos（A-C）=1，
∴cos（A-C）-cos（A+C）=1-cos2B，
∵cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，1-cos2B=2sin2B，
∴sinAsinC=sin2B，
由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比数列错误；
④，∵
，
是夹角为120°的单位向量，
∴（λ
+
）⊥（
-2
）?（λ
+
）•（
-2
）=0?λ
2-2
2+（1-2λ）
•
=0?λ-2+（1-2λ）×1×1×（-
）=0?2λ-2-
=0，
∴λ=
．故④正确；
综上所述，正确命题的个数是2个．
故选B．
②，依题意，F（c，0），A（-a，0），∵点B（0，b），
∴
| AB |
| BF |
∵
| AB |
| BF |
∴ac-b2=0，而b2=c2-a2，
∴c2-ac-a2=0，两端同除以a2得：e2-e-1=0，
解得e=
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
故②正确；
③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，
∴cosB=-cos（A+C），
∴原式化为：cos2B-cos（A+C）+cos（A-C）=1，
∴cos（A-C）-cos（A+C）=1-cos2B，
∵cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，1-cos2B=2sin2B，
∴sinAsinC=sin2B，
由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比数列错误；
④，∵
| a |
| b |
∴（λ
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴λ=
| 5 |
| 4 |
综上所述，正确命题的个数是2个．
故选B．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定，向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查双曲线的性质，综合性强，属于难题．
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