题目内容

下列命题中，正确命题的个数是（　　）
①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”．
②双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且
AB
•
BF
=0，则此双曲线的离心率为
5
+1
2
．
③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则a、c、b成等比数列．
④已知
a
，
b
是夹角为120°的单位向量，则向量λ
a
+
b
与
a
-2
b
垂直的充要条件是λ=
5
4
．
分析：①利用命题的否定，即可判断其真假；
②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，
③将cosB=-cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判断③的正误；
④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．
解答：解：①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x0∈R，使得x03+1≥0”，故①错误；
②，依题意，F（c，0），A（-a，0），∵点B（0，b），
∴
AB
=（a，b），
BF
=（c，-b），
∵
AB
•
BF
=0，
∴ac-b2=0，而b2=c2-a2，
∴c2-ac-a2=0，两端同除以a2得：e2-e-1=0，
解得e=
5
+1
2
或e=
1-
5
2
（舍去），
故②正确；
③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，
∴cosB=-cos（A+C），
∴原式化为：cos2B-cos（A+C）+cos（A-C）=1，
∴cos（A-C）-cos（A+C）=1-cos2B，
∵cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，1-cos2B=2sin2B，
∴sinAsinC=sin2B，
由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比数列错误；
④，∵
a
，
b
是夹角为120°的单位向量，
∴（λ
a
+
b
）⊥（
a
-2
b
）?（λ
a
+
b
）•（
a
-2
b
）=0?λ
a
2-2
b
2+（1-2λ）
a
•
b
=0?λ-2+（1-2λ）×1×1×（-
1
2
）=0?2λ-2-
1
2
=0，
∴λ=
5
4
．故④正确；
综上所述，正确命题的个数是2个．
故选B．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定，向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查双曲线的性质，综合性强，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
下列命题中，正确命题的个数为（　　）
①
nan
=a
②若a∈R，则（a2-a+1）0=1
③
x4+y3
=x
4
3
+y
④
3-5
=
6(-5)2
．
A、0B、1C、2D、．3
下列命题中，正确命题的个数为（　　）
①命题“若
x-2
+(y+1)2=0，则x=2且y=-1”的逆命题是真命题；
②P：个位数字为零的整数能被5整除，则?P：个位数字不是零的整数不能被5整除；
③茎叶图中，去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同．
A、0B、1C、2D、3
下列命题中，正确命题的序号是
①④⑤
①④⑤
．
①若sin（3π+α）=-
1
2
，α∈(
π
2
，π)，则sin（
7π
2
-α）的值是
3
2
；
②终边在y轴上的角的集合是{α|a=
kπ
2
，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象与函数Y=X的图象有3个公共点；
④把函数y=3sin（2x+
π
3
）的图象向右平移
π
6
得到y=3sin2x的图象；
⑤函数y=sin（x-
π
3
）的一个对称中心是（-
2π
3
，0）．
下列命题中：
①
a
∥
b
?存在唯一的实数λ∈R，使得
b
=λ
a
；
②
e
为单位向量，且
a
∥
e
，则
a
=±|
a
|•
e
；
③|
a
•
a
•
a
|=|
a
|3；
④
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线；
⑤若
a
•
b
=
b
•
c
且
b
≠
0
，则
a
=
c

其中正确命题的序号是（　　）
（2013•蓟县二模）下列命题中，正确命题的个数为（　　）
①若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0；
②函数f（x）=ex+x-2的零点所在区间是（1，2）；
③x=2是x2-5x+6=0的充分不必要条件．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网