Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）+f（-x）=0，当x＞2，f（x）单调递增，如果x₁+x₂＜4且x₁x₂-2x₁-2x₂+4＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

• A、恒小于0
• B、恒大于0
• C、可能为0
• D、可正可负

Answer 1

分析：题设中条件众多，欲判断f（x₁）+f（x₂）的符号，有两种可能一是-f（x₁）＞f（x₂），一是-f（x₁）＜f（x₂），又f（-x）=-f（x+4），令x=-x₁，即得f（x₁）=-f（4-x₁），由此问题转化为比较f（4-x₁）与f（x₂）的大小比较，由题设条件易证．

解答：解：设x₁＜x₂，由（x₁-2）（x₂-2）＜0，得x₁＜2，x₂＞2．
再由x₁+x₂＜4得，4-x₁＞x₂＞2，因为x＞2时，f（x）单调递增，所以f（4-x₁）＞f（x₂）．
又f（-x）=-f（x+4），取x=-x₁，可得 f（x₁）=-f（4-x₁），所以-f（x₁）＞f（x₂），
即f（x₁）+f（x₂）＜0，
故选A．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查根据抽象函数的性质进行灵活变形，转化证明的能力，本题对灵活转化的能力要求较高，依据条件灵活转化是一种数学素养较高的表现，属于中档题．