Question

【题目】已知f（x）=loga （a＞0，且a≠1）．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）求使f（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意可得 ＞0，即（1+x）（1﹣x）＞0，

即 （x+1）（x﹣1）＜0，求得﹣1＜x＜1，

所以函数定义域为（﹣1，1），关于原点对称．

再根据f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），可得f（x）为奇函数

（2）解：不等式f（x）＞0，即 ＞0，

由（1）得函数定义域为函数定义域为（﹣1，1），

当a＞1时，即 ＞loga1，∴ ，

即 ＜0，∴2x（x﹣1）＜0，求得 0＜x＜1．

当0＜a＜1时，f（x）＞0，即 ＞loga1，∴0＜ ＜1，

即 ＜0，且 ＞0，∴﹣1＜x＜0．

综上，当a＞1时，不等式的解集为（0，1），当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）．

【解析】（1）由题意可得 ＞0，求得函数的定义域为（﹣1，1），关于原点对称．再根据f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．（2）不等式f（x）＞0，即 ＞0，分类讨论a的范围，利用函数的单调性，求得x的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．