Question

15．已知$\overrightarrow{OA}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{OB}$=（sin$\frac{x}{3}$，cos$\frac{x}{3}$），函数f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，x∈R．
（1）求f（x）的增区间；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$．求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式和正弦函数的增区间，即可得到所求单调区间；
（2）由于f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，可得sinα=$\frac{5}{13}$，结合α∈[0，$\frac{π}{2}$]，求得 cosα=$\frac{12}{13}$．同理求得cosβ=$\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$．由此求得cos（α-β） 的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$-cos$\frac{x}{3}$
=2sin（$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得6kπ-π≤x≤6kπ+2π，k∈Z，
即有f（x）的增区间为[6kπ-π，6kπ+2π]，k∈Z；
（2）由于f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，
∴sinα=$\frac{5}{13}$，
再由 α∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得 cosα=$\frac{12}{13}$．
再由 f（3β+2π）=2sin（β+$\frac{π}{2}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，
∴cosβ=$\frac{3}{5}$，再由β∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得sinβ=$\frac{4}{5}$．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{56}{65}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．