Question

10．已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1，其中a≥0，a∈R．设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的解析式．

Answer 1

分析 用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于a不具体，要根据对称轴分类讨论；

解答 当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1，
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，
最小值g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，则f（x）=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+2a-$\frac{1}{4a}$-1，
f（x）图象的对称轴是直线x=$\frac{1}{2a}$，
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
当0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2．
当1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$时，g（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=2a-$\frac{1}{4a}$-1，
当2＜$\frac{1}{2a}$，即0＜a＜$\frac{1}{4}$时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
综上得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，}&{0＜a＜\frac{1}{4}}\\{2a-\frac{1}{4a}-1，}&{\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}}\\{3a-2，}&{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的性质，考查二次函数在闭区间上的最值，注意讨论对称轴与区间的关系，考查运算能力．