Question

3．已知x，y，z为正数，3^x=4^y=6^z，2x=py．
（1）求p；
（2）求与p的差最小的整数．

Answer 1

分析 （1）x，y，z为正数，设3^x=4^y=k＞0，则x=log₃k，y=log₄k．由于2x=py．可得p=$\frac{2lo{g}_{3}k}{lo{g}_{4}k}$．
（2）由于p=log₃16，可得2＜P＜3，分别作差p-2，3-p，即可得出．

解答 解：（1）x，y，z为正数，设3^x=4^y=k＞0，
则x=log₃k，y=log₄k．
∵2x=py．
∴p=$\frac{2x}{y}$=$\frac{2lo{g}_{3}k}{lo{g}_{4}k}$=$\frac{2\frac{lgk}{lg3}}{\frac{lgk}{lg4}}$=4log₃2．
（2）∵p=log₃16，
∴2＜P＜3，
p-2=log₃16-2=$lo{g}_{3}\frac{16}{9}$，
3-p=3-log₃16=$lo{g}_{3}\frac{27}{16}$，
∵$\frac{16}{9}$$＞\frac{27}{16}$，
∴与p的差最小的整数是3．

点评 本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．