题目内容

已知函数,其中.
(Ⅰ)当=1时,求在(1,)的切线方程
(Ⅱ)当时,,求实数的取值范围。

(Ⅰ);(Ⅱ) 的取值范围为(-∞,0].

解析试题分析:(Ⅰ)当=1时,,∴==,∴在(1,)的切线斜率=,∴在(1,)的切线方程为;(Ⅱ) 时,≥0,则在[0,+∞)上是增函数,∴当时,=0,适合;分当时,≤0,则≤0,则在[0,+∞)上是减函数,∴当时,=0,不适合;当时,1>>0,则,当∈[0, ]时,≥0,当∈[,+∞)时,≤0,∴在[0, ]是增函数,在[,+∞)是减函数,当时,<0,故不适合,∴的取值范围为(-∞,0].
考点:本题主要考查导数的几何意义,直线方程,应用导数研究函数的单调性及极值。
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,切线斜率,等于函数在切点的导函数值。(2)涉及时,成立,通过研究函数的单调性,明确了函数值取到最小值的情况,确定得到a的范围。

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