Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow{b}$=（1，y），其中x＞0，y＞0，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4，可得x+2y=4，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4，∴x+2y=4，
又x＞0，y＞0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{4}（x+2y）（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=$\frac{1}{4}（3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}）$$≥\frac{1}{4}（3+2\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{x}{y}}）$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$y=$4（\sqrt{2}-1）$时取等号．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．