Question

7．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-cosωx（ω＞0），图象上相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（B）=1（B$＞\frac{π}{6}$），2sin²C=cosC+cos（A-B），求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和、差公式对函数解析式整理，根据图象上相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，可得函数的最小正周期；
（2）求得函数f（x）的解析式，根据f（B）=1，求得B，代入2sin²C=cosC+cos（A-B），求sinA的值．

解答 解：（1）f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-cosωx=$\sqrt{3}$sinωx-cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$），
∵图象上相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴T=π；
（2）由（1）知，ω=2，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
在△ABC中，∵f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，B$＞\frac{π}{6}$，
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{5}{6}$π，
∴B=$\frac{π}{2}$，
∵2sin²C=cosC+cos（A-B），
∴2sin²（$\frac{π}{2}$-A）=cos（$\frac{π}{2}$-A）+cos（A-$\frac{π}{2}$），
∴sin²A+sinA-1=0，
∴sinA=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．