Question

18．给出下列命题：
①设S_n表示数列{a_n}的前n项和，若S_n=2^n-1+p，则{a_n}是等比数列的充分且必要条件是p=-$\frac{1}{2}$；
②函数f（x）=$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的值域为$[0，\sqrt{2}]$；
③已知x∈（0，π），则sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$的最小值为4；
④若方程e^2lnx=$\frac{3}{2}-\frac{a}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，则a的取值范围是$[\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．
其中正确命题的序号是①④．

Answer 1

分析 根据等比数列的前n项和公式和充要条件的定义，可判断①；求出函数f（x）=$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的值域，可判断②；求出x∈（0，π）时，sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$的最小值，可判断③；根据方程e^2lnx=$\frac{3}{2}-\frac{a}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，求出a的取值范围，可判断④．

解答 解：①设S_n表示数列{a_n}的前n项和，若S_n=2^n-1+p，
当p=-$\frac{1}{2}$时，数列{a_n}是一个公比为2，首项为$\frac{1}{2}$的等比数列，
若{a_n}是等比数列，则由S_n=2^n-1+p可得公比q≠1，
则由S_n=2^n-1+p=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$可得：p=-$\frac{1}{2}$；
故{a_n}是等比数列的充分且必要条件是p=-$\frac{1}{2}$，即①正确；
②函数f（x）=$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的值域为$[1，\sqrt{2}]$，故②错误；
③已知x∈（0，π），则当sinx=1时，sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$取最小值5，故③错误；
④若方程e^2lnx=$\frac{3}{2}-\frac{a}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，即方程x²=$\frac{3}{2}-\frac{a}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，
即a=$-{x}^{3}+\frac{3}{2}x$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，
令y=$-{x}^{3}+\frac{3}{2}x$．则y′=$-{3x}^{2}+\frac{3}{2}$，
令y′=0，则x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故当x∈$[\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$时，y′＞0，函数为增函数，
当x∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$时，y′＜0，函数为减函数，
故当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y=$-{x}^{3}+\frac{3}{2}x$取最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故当x=1时，y=$-{x}^{3}+\frac{3}{2}x$取最小值$\frac{1}{2}$，
则a的取值范围是$[\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，故④正确；
故正确的命题的序号是：①④，
故答案为：①④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．