Question

4．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，异面直线A₁B与B₁C₁所成角的大小为$arccos\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．
（1）求侧棱AA₁的长．
（2）求A₁B与平面A₁ACC₁所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析 （1）设AA₁=a，求侧棱AA₁的长，需要找到与它有关的方程，由题设条件及图形知，∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，由于此角余弦值已知，且△A₁BC的边A₁B，A₁C的长度都可以用侧棱AA₁的长度a表示出来，由此可以利用余弦定理建立关于AA₁的方程．
（2）作出直线与平面所成角，利用三角形的解法求解角的大小即可．

解答 解：（1）∵B₁C₁∥BC，
∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，…（2分）
设AA₁=a，则在△A₁BC中，A₁B=A₁C=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，BC=2，…（4分）
于是cos∠A₁BC=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，…（6分）
解得a=4．…（7分）．
所以，侧棱AA₁的长为4．…（8分）
（2）做BO⊥AC于O，连结A₁O，几何体是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，
可知AO=1，BO=$\sqrt{3}$，并且BO⊥AA₁，BO⊥平面A₁ACC₁，
A₁B与平面A₁ACC₁所成角就是∠BA₁O，A₁O=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
A₁B与平面A₁ACC₁所成角的大小为θ，tanθ=$\frac{BO}{{A}_{1}O}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{51}}{17}$，
θ=arctan$\frac{\sqrt{51}}{17}$．…（14分）

点评 本题考查空间的距离求法，直线与平面所成角的求法，此类题求解时，技巧是转换角度，且点所对的多边形的面积易求，若这些条件不满足，则此法不好用，学习一种典型题的解法，要注意它的适用范围，适时总结．