Question

12．如图，?ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2，M为CD的中点，沿BM将△CBM折起，使得平面AMC⊥平面BMC，O为线段BM的中点．
（1）求证：CO⊥平面ABMD；
（2）求点D到平面AMC的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意，△CBM是等边三角形，取CM的中点E，连接BE，则BE⊥CM，证明AM⊥平面BMC，可得平面ABMD⊥平面BMC，利用O是BM的中点，可得CO⊥BM，即可证明CO⊥平面ABMD；
（2）点D到平面AMC的距离等于点B到平面AMC的距离的一半，即可求点D到平面AMC的距离．

解答 （1）证明：由题意，△CBM是等边三角形，取CM的中点E，连接BE，则BE⊥CM，
∴平面AMC⊥平面BMC，平面AMC∩平面BMC=CM，
∴BE⊥平面AMC，
∴BE⊥AM，
∵AM⊥BM，BE∩BM=B，
∴AM⊥平面BMC，
∴平面ABMD⊥平面BMC，
∵O是BM的中点，
∴CO⊥BM，
∴CO⊥平面ABMD；
（2）解：连接BD交AM于F，则△FDM∽△FBA，
∴BF=2DF，
∴点D到平面AMC的距离等于点B到平面AMC的距离的一半，即为$\frac{1}{2}$BE，
∵△CBM是边长为1的等边三角形，
∴点D到平面AMC的距离是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直，考查点D到平面AMC的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．