Question

给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数y=(

x

)2表示同一个函数；
②已知函数f（x+1）=x²，则f（e）=e²-1
③已知函数f（x）=4x²+kx+8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（-∞，40]∪[160，+∞）
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．0个

Answer 1

分析：①由函数y=|x|和函数y=(

x

)2的定义域不同，知函数y=|x|与函数y=(

x

)2不是同一个函数；
②由函数f（x+1）=x²，设x+1=e，则x=e-1，知f（e）=（e-1）²；
③由函数f（x）=4x²+kx+8的对称轴为x=-

k

8

，在区间[5，20]上具有单调性，能推导出k≥40，或k≤160；
④分别判断f（x），g（x）的奇偶性，即可判断④的正误．

解答：解：①∵函数y=|x|的定义域是R，
函数y=(

x

)2的定义域是{x|x≥0}，
∴函数y=|x|与函数y=(

x

)2不是同一个函数，故①错误；
②∵函数f（x+1）=x²，
设x+1=e，则x=e-1，
∴f（e）=（e-1）²，故②错误；
③∵函数f（x）=4x²+kx+8的对称轴为x=-

k

8

，
在区间[5，20]上具有单调性，
∴-

k

8

≤5，或-

k

8

≥20，
解得k≥40，或k≤160，故③错误；
④令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函数f（x）是奇函数，
∵x≠0时，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）=

f(x+y)+f(x-y)

2f(x)

=g（y），
∴函数g（x）是偶函数，故④错误．
故选D．

点评：考查抽象函数及其应用，解决抽象函数的问题一般应用赋值法，难点在于综合考察函数的单调性，奇偶性，零点与最值，考察点跨度大，难度大，属于难题．