题目内容
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，过点
的直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，记直线与曲线分别交于
两点.
（1）求曲线和的直角坐标方程；
（2）证明：
成等比数列.
【答案】(1)
, 
.（2）见解析.
【解析】
（1）曲线C的极坐标方程左右两边同乘
，再利用
可求其直角坐标方程；消参可求直线的普通方程；
（2）把直线
的参数方程和曲线C的直角坐标方程联立，利用韦达定理分别表示
，利用等比中项法即可证明。
（1）由
，得
，
所以曲线
的直角坐标方程为，
由
，消去参数
，得直线的普通方程为
.
（2）证明：将直线的参数方程代入中，得
.
设
两点对应的参数分别为
，则有
，
，
所以
.
因为
，
所以
，
，
成等比数列.
【题目】随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在
市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到如表（单位：人）：
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？
（Ⅱ）①现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率．
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为
，求的数学期望和方差．
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
