Question

13．已知x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函数f（x）=cos²（ωx-$\frac{π}{6}$）-sin²ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．
（1）求f（$\frac{π}{2}$）的值；
（2）若对?x∈[-$\frac{π}{12}$，0]，有|f（x）-m|≤1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出周期，确定函数解析式即可求f（$\frac{π}{2}$）的值；
（2）由|f（x）-m|≤1可得f（x）-1≤m≤f（x）+1，?x∈[-$\frac{π}{12}$，0]，都有|f（x）-m|≤1，可得f（x）_max=$\frac{3}{4}$，f（x）_min=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，故可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²（ωx-$\frac{π}{6}$）-sin²ωx
=$\frac{1+cos（2ωx-\frac{π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos2ωx}{2}$
=$\frac{\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+cos2ωx}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，
∵已知x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函数f（x）=cos²（ωx-$\frac{π}{6}$）-sin²ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．
∴函数的周期T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=1，
∴f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2×$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）=$-\frac{9}{4}$．
（2）|f（x）-m|≤1，?f（x）-1≤m≤f（x）+1，
∵对?x∈[-$\frac{π}{12}$，0]，都有|f（x）-m|≤1，
∴m≥f（x）_max-1且m≤f（x）_min+1，
∵-$\frac{π}{12}$≤x≤0，
∴2x$+\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{3}{4}$，
即f（x）_max=$\frac{3}{4}$，f（x）_min=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴-$\frac{1}{4}$≤m≤$\frac{\sqrt{3}}{4}+1$．

点评 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，考察了不等式的解法，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．