题目内容
7.已知f(x)=mx2+nx-2(n>0,m>0)的图象与x轴交与(2,0),则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为8.分析 由题意可得正数m、n满足2m+n=1,代入可得$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=($\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$)(2m+n)=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$,由基本不等式可得.
解答 解:∵f(x)=mx2+nx-2的图象与x轴交与(2,0),
∴4m+2n-2=0,∴正数m、n满足2m+n=1,
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=($\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$)(2m+n)
=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8,
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即m=$\frac{1}{4}$且n=$\frac{1}{2}$时取等号.
故答案为:8.
点评 本题考查基本不等式求最值,“1”的整体代换是解决问题的关键,属基础题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{1}{18}$ | B. | $\frac{1}{12}$ | C. | $\frac{1}{6}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |