题目内容

15.观察下列各式:
sin245°+cos275°+sin45°cos75°=$\frac{3}{4}$,
sin240°+cos270°+sin40°cos70°=$\frac{3}{4}$,
sin210°+cos240°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$
(1)分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式;
(2)并对(1)的等式的正确性作出证明.

分析 (1)根据已知三个等式,找出一般性规律,写出即可;
(2)由(1)中等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简,再利用同角三角函数间基本关系变形得到结果与右边相等,得证.

解答 解:(1)根据题意得:sin2x+cos2(x+30°)+sinxcos(x+30°)=$\frac{3}{4}$;
(2)已知等式左边=sin2x+($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx)2+sinx($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx)
=sin2x+$\frac{3}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{3}{4}$cos2x+$\frac{3}{4}$sin2x=$\frac{3}{4}$=右边,
则sin2x+cos2(x+30°)+sinxcos(x+30°)=$\frac{3}{4}$.

点评 此题考查了三角函数的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

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