Question

20．若函数f（x）=asin（x-$\frac{π}{3}$）+b满足f（$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{2}$）=7且f（π）-f（0）=2$\sqrt{3}$．求
（1）f（x）的解析式及f（x）的单调减区间；
（2）使f（x）=4的x的集合．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程组求出a，b即可f（x）的解析式及f（x）的单调减区间；
（2）解方程f（x）=4即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{2}$）=7，
∴b+asin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）+b=2b+asin$\frac{π}{6}$=7，
即2b+$\frac{1}{2}$a=7，
∵f（π）-f（0）=2$\sqrt{3}$，
∴asin（π-$\frac{π}{3}$）+b-asin（-$\frac{π}{3}$）-b=2$\sqrt{3}$，
即asin$\frac{π}{3}$+asin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
则2a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，解得a=2，则b=3，
则f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+3，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
即f（x）的单调减区间为[2kπ+$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{11π}{6}$]，k∈Z；
（2）由f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+3=4得2sin（x-$\frac{π}{3}$）=1，
即sin（x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
即x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$+2kπ，或x-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$+2kπ，
即x=2kπ+$\frac{π}{2}$，或x=$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z，
即f（x）=4的x的集合为{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$或x=$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z}．

点评 本题主要考查三角函数函数解析式的求解，以及三角函数性质的考查，求出函数的解析式是解决本题的关键．