题目内容

【题目】有一智能机器人在平面上行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=﹣1的距离相等,若机器人接触不到过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线,求k的取值范围.

【答案】解:由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y2=4x,
过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),
由题意知直线与抛物线无交点,即当直线位于图中阴影部分时,机器人是接触不到的;
联立消去y,得k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0,则△=(2k2﹣4)2﹣4k4<0,
所以k2>1,得k>1或k<﹣1.
【解析】由抛物线的定义,求出机器人的轨迹方程,过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),代入y2=4x,利用判别式,即可求出k的取值范围.

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