题目内容
【题目】已知曲线f(x)= ax3﹣blnx在x=1处的切线方程为y=﹣2x+
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)证明:x>0时,
<
(e为自然对数的底数)
【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=ax2﹣ , 故f(1)=
a,f′(1)=a﹣b,
故切线方程是:y=(a﹣b)(x﹣1)+ a=(a﹣b)x﹣
a+b,
而y=﹣2x+ ,故a﹣b=﹣2,﹣
a+b=
,
解得:a=2,b=4,
故f(x)= x3﹣4lnx,(x>0),
f′(x)=2x2﹣ =
(x>0),
当x∈(0,3 )时,f′(x)<0;当x∈(3
,+∞)时,f′(x)>0,
则f(x)在(0,3 )上为减函数,在x(3
,+∞)上为增函数,
∴f(x)的极小值为f(3 )=
﹣4ln
=
(1﹣ln2),无极大值;
(Ⅱ)证明:f(x)= x3﹣4lnx,
要证 <
,即证
﹣
<xlnx.
令g(x)=xlnx,x∈(0,+∞),
则g′(x)=lnx+1,
由g′(x)<0,得0<x< ;由g′(x)>0,得x>
,
∴当x= 时取得最小值,最小值为g(
)=﹣
,
由h(x)= ﹣
,可得h′(x)=
,
∴当x∈(0,1),h′(x)>0,h(x)单调递增,
当x∈(1,+∞),h′(x)<0,h(x)单调递减.
函数h(x)(x>0)在x=1时取得最大值,
又h(1)=﹣ ,∴h(x)<﹣
,
∴任意x∈(0,+∞), <
.
【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数,求得函数在点(1,f(1))处的切线l的方程,求得a,b值,进一步求出原函数的极小值点,得到f(x)的极小值;(Ⅱ)把f(x)的解析式代入 <
,转化为证
﹣
<xlnx,分别构造函数g(x)=xlnx,x∈(0,+∞),h(x)=
﹣
(0,+∞),然后利用导数分别求出它们的最值得到要证明的结论.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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