题目内容
2.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个点,$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4,求点Q的坐标.
分析 (1)由已知中圆C过点P(1,1),且圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称,我们可以求出圆C的方程;
(2)设Q(x,y),则利用M(-2,-2),$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4,可得x2+x+y2+y=0,结合x2+y2=2,即可求点Q的坐标.
解答 解:(1)设圆心C(a,b),则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}\right.$,解得a=0,b=0;
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2;
(2)设Q(x,y),则
∵M(-2,-2),$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4,
∴(x-1,y-1)•(x+2,y+2)=-4,
∴x2+x-2+y2+y-2=-4,
∴x2+x+y2+y=0,
∵x2+y2=2,
∴x=-1,y=-1,
∴Q(-1,-1).
点评 本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,关于直线对称的圆的方程,其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键.
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