题目内容
【题目】若a>0,b>0,且 .
(I) 求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
【答案】【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且 +
=
,
∴ =
+
≥2
,∴ab≥2,
当且仅当a=b= 时取等号.
∵a3+b3 ≥2 ≥2
=4
,当且仅当a=b=
时取等号,
∴a3+b3的最小值为4 .
(Ⅱ)∵2a+3b≥2 =2
,当且仅当2a=3b时,取等号.
而由(1)可知,2 ≥2
=4
>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
【解析】(1)两次连续代入公式,注意“=”成立条件是:当且仅当a=b.
(2)同样代入公式,此时“=”成立的条件是2a=3b,与题目a=b不同,故不成立。
【考点精析】利用基本不等式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知基本不等式:,(当且仅当
时取到等号);变形公式:
.

练习册系列答案
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【题目】某企业生产A,B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表:
产品品种 | 劳动力(个) | 煤(吨) | 电(千瓦时) |
A产品 | 3 | 9 | 4 |
B产品 | 10 | 4 | 5 |
已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦时,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润?