题目内容

【题目】[选修4-4 , 坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).(10分)
(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为 ,求a.

【答案】
(1)

解:曲线C的参数方程为 (θ为参数),化为标准方程是: +y2=1;

a=﹣1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y﹣3=0;

联立方程

解得

所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(﹣ ).


(2)

l的参数方程 (t为参数)化为一般方程是:x+4y﹣a﹣4=0,

椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),

所以点P到直线l的距离d为:

d= = ,φ满足tanφ=

又d的最大值dmax=

所以|5sin(θ+φ)﹣a﹣4|的最大值为17,

得:5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17,

即a=﹣16或a=8.


【解析】(1.)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标;
(2.)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为 进行分析,可以求出a的值.

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