Question

8．等比数列{a_n}的前n项和S_n，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比q和通项a_n；
（2）若{a_n}是递增数列，令b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{128}$，求|b₁|+|b₂|+…|b_n|．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a₂和公比q的方程组，求解后可得数列{a_n}的公比q和通项a_n；
（2）由{a_n}是递增数列可得{a_n}的通项公式，代入b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{128}$求得b_n，然后对n分类求得|b₁|+|b₂|+…|b_n|．

解答 解：（1）由已知条件得$\left\{\begin{array}{l}{6{a}_{2}={a}_{1}+3+{a}_{3}+4}\\{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{6{a}_{2}=\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}q+7}\\{{a}_{2}（\frac{1}{q}+q+1）=7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{{a}_{n}={2}^{n-1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{q=\frac{1}{2}}\\{{a}_{n}={2}^{3-n}}\end{array}\right.$；
（2）若{a_n}是递增数列，则${a}_{n}={2}^{n-1}$，${a}_{n+1}={2}^{n}$，
∴b_n=$lo{g}_{2}\frac{{2}^{n}}{128}$=n-7．
记{b_n}的前n项和为T_n=1+2+3+…+n-7n=$\frac{n（n-13）}{2}$，
则有当1≤n≤7时，|b₁|+|b₂|+…|b_n|=-T_n；
当n＞7时，|b₁|+|b₂|+…|b_n|=T_n-2S₇=$\frac{n（n-13）}{2}+42$．
∴|b₁|+|b₂|+…|b_n|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（13-n）}{2}，1≤n≤7}\\{\frac{n（n-13）}{2}，n＞7}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，考查等差数列前n项和的求法，正确分类是解答该题的关键，是中档题．