题目内容
【题目】如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为8,圆环的圆心
距离地面的高度为10
,蚂蚁每12分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点
处.
(1)试确定在时刻(
)时蚂蚁距离地面的高度
;
(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过14?
【答案】(1) (2)有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m.
【解析】试题分析:
(1)先确定点P咋t分钟内所转过的角,从而可得到点P的纵坐标,由此可得在时刻时蚂蚁距离地面的高度
,(2)根据(1)中的关系式解三角不等式可得
的取值范围,进而可得所求时间.
试题解析:
(1)设在时刻t(min)时蚂蚁达到点P,
则点P在t分钟内所转过的角为=
,
所以以Ox为始边,OP为终边的角为的大小为+
,
故P点的纵坐标为8sin(+
),
则h=8sin(+
)+10=10﹣8cos
,
∴在时刻时蚂蚁距离地面的高度
=10﹣8cos
(t≥0).
(2)由(1)知h=10﹣8cos
令10﹣8cos≥14,可得cos
≤﹣
,
∴(k∈Z),
解得,
又,
∴4≤t≤8.
即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m.
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