题目内容

（2008•海珠区一模）已知抛物线D的顶点是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线D的方程；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点，坐标原点O为PQ中点，求证：∠AQP=∠BQP；
（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
分析：（1）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．由a2-b2=4-3=1，得c=1．由此能求出抛物线D的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时由抛物线的对称性知∠AQP=∠BQP，当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），由
y=k(x-4)
y2=4x
，得k2x2-4（2k2+1）x+16k2=0，由此能够证明∠AQP=∠BQp．
（3）设存在直线m+x=a满足题意，则圆心M(
x1+4
2
，
y1
2
)，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，故|EG|2=|MG|2-|ME|2，由此能够导出存在直线m：x=3满足题意．
解答：（本小题满分14分）
（1）解：由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．
由a2-b2=4-3=1，得c=1．
∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2．
∴抛物线D的方程为y2=4x．…（4分）
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP=∠BQP，
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），
由
y=k(x-4)
y2=4x
，得k2x2-4（2k2+1）x+16k2=0，
∴
x1+x2=
4(2k2+1)
k2
x1x2=16
，
∵kAQ=
y1
x1+4
=
k(x1-4)
x1+4
，
kBQ=
y2
x2+4
=
k(x2-4)
x2+4
，
∴kAQ+kBQ=
k(2x1x2-32)
(x1+4)(x2+4)
=
k(2•16-32)
(x1+4)(x2+4)
=0，
∴∠AQP=∠BQP．
综上证知，∠AQP=∠BQP
（3）解：设存在直线m+x=a满足题意，
则圆心M(
x1+4
2
，
y1
2
)，
过M作直线x=a的垂线，垂足为E，
∴|EG|2=|MG|2-|ME|2，
即|EG|2=|MA|2-|ME|2
=
(x1-4)2+y12
4
-(
x1+4
2
-a)2
=
1
4
y12+
(x1-4)2-(x1+4)2
4
+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2
=(a-3)x1+4a-a2，
当a=3时，|EG|2=3，
此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2
3
．…（13分）
因此存在直线m：x=3满足题意…（14分）
点评：本题考查抛物线方程的求法，直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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