Question

如图所示，已知A（-1，0），B（1，0），直线l垂直AB于A点，P为l上一动点，点N为线段BP上一点，且满足=2，点M满足

＝λ (λ＞0),·=0．

（1）求动点M的轨迹方程C；

（2）在上述曲线内是否存在一点Q，若过点Q的直线与曲线C交于两点E、F，使得以EF为直径的圆都与l相切?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：由=2知点N为BP中点，

由=λ(λ＞0),知∥且点M与B位于l同侧.   

因为·=0,所以⊥.

由此知MN为线段BP的垂直平分线，所以应有｜MB｜=｜MP｜.             

由抛物线定义知点M的轨迹为抛物线，点B为焦点，直线l为准线，

（1）因为A(-1,0)，B(1,0)，所以l:x=-1.

抛物线方程为y²=4x,即为点M的轨迹方程.                                  

（2）存在点Q，即为焦点B(1,0).                                          

证明如下：设EF为抛物线的焦点弦，设其中点为H，分别由E、H、F向l作垂线，垂足分别为R、S、T.

由梯形的中位线知：

｜HS｜=(｜ER｜+｜FT｜)=(｜EB｜+｜FB｜)=｜EF｜,                  

即以EF为直径的圆的圆心到直线l的距离等于半径.

所以以EF为直径的圆必与直线l相切.

所以存在点Q,其坐标为(1,0).