Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

4

=1(a ＞2)上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6，
（1）求a及椭圆离心率的值．
（2）若PF₂⊥x轴（F₂为右焦点），且P在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义，利用椭圆

x2

a2

+

y2

4

=1(a ＞2)上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6，可求a的值，从而求出椭圆离心率的值；
（2）先确定P的横坐标，再确定P的纵坐标，根据P在y轴上的射影为点Q，可求点Q的坐标．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

4

=1(a ＞2)上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6
∴2a=6
∴a=3
∵b=2，c²=a²-b²
∴c=

5

∴e=

c

a

=

5

3

（2）∵PF₂⊥x轴（F₂为右焦点），
∴P的横坐标为

5

∵P在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上
∴y=±

4

3

∵P在y轴上的射影为点Q，
∴点Q的坐标为(0，±

4

3

)．

点评：本题重点考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，明确几何量之间的关系是解题的关键．