Question

2．已知圆M的圆心在直线x+y+1=0上，且与y轴交于两点A（0，-1），B（0，-3）
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）被圆M截得的弦长为2$\sqrt{2}$，求a+b³的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圆M的圆心在直线x+y+1=0上，且与y轴交于两点A（0，-1），B（0，-3），求出圆心与半径，即可求圆M的方程；
（Ⅱ）利用直线2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）被圆M截得的弦长为2$\sqrt{2}$，可得（1，-2）在直线2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）上，a+b=1，从而a+b³=b³-b+1（0＜b＜1），利用导数即可求a+b³的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵圆M的圆心在直线x+y+1=0上，且与y轴交于两点A（0，-1），B（0，-3），
∴由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$，可得圆心为（1，-2），
∴半径为$\sqrt{2}$，
∴圆M的方程为（x-1）²+（y+2）²=2；
（Ⅱ）∵直线2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）被圆M截得的弦长为2$\sqrt{2}$，
∴（1，-2）在直线2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）上，
∴a+b=1，
∴a+b³=b³-b+1（0＜b＜1），
令y=b³-b+1（0＜b＜1），则y′=3b²-1，
∴函数在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上单调递减，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上单调递增，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，a+b³的最小值为-$\frac{2}{9}$$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查导数知识的运用，属于中档题．