Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，
（I）求a_n与a_n-1的关系式，并求{a_n}的通项公式；
（II）求和Wn=

1

a 2 2 -1

+

1

a 2 3 -1

+…+

1

a 2 n+1 -1

．

Answer 1

分析：（I）由已知，

2Sn=(n+1)an 2Sn-1=nan-1

两式相减得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，移向整理得出an=

n

n-1

an-1（n≥2），再利用累积法求通项公式．
（II）

1

a 2 n+1 -1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，裂项后求和计算即可．

解答：解：（I）由已知

2Sn=(n+1)an 2Sn-1=nan-1

两式相减得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，移向整理得出an=

n

n-1

an-1（n≥2）

∴

an

a1

=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…•

2

1

=n，
∴a_n=n；且a₁=1也适合，
所以a_n=n．
（II）

1

a 2 n+1 -1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
Wn=

1

1•3

+

1

2•4

+

1

3•5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+( 

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

2n+3

2n(n+1)

．

点评：本题考查数列累积法通项公式求解，裂项法求和．考查转化、变形构造，计算能力．