题目内容
5.在△ABC中,∠ABC=90°,BC的中点为D,已知sin∠CAD=$\frac{1}{3}$,求∠CAB的正弦值.分析 分别设出AB,.BD,则AD,AC可表示出来,利用余弦定理建立等式求得AB,则∠CAB的正弦值可得.
解答 解:
设AB=x,BD=CD=1,则AD=$\sqrt{1+{x}^{2}}$,AC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$
则在△ACD中,cos∠CAD=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2•AD•AC}$=$\frac{2{x}^{2}+4}{2\sqrt{{x}^{4}+5{x}^{2}+4}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
求得x=$\sqrt{2}$,
∴sin∠CAB=$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
点评 本题主要考查了余弦定理的运用,解三角形问题的应用.解题的关键是找到各边的关系.
练习册系列答案
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19.${∫}_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$cosxdx=( )
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |