题目内容
【题目】如图所示，四棱锥
中，
底面
，
，
为
的中点.
（1）求证：
；
（2）求点D与平面
的距离.
【答案】（1）见解析； （2）
.
【解析】
（1）在
中，由余弦定理可解得
,可知是直角三角形，又
为等边三角形，所以
，所以
，即可证明
平面
（2）由（1）可知
，以点
为原点，以
,
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线
与平面
所成角的正弦值.
（1）因为
，
，
，
所以
，
，
在中，
，，
，
由余弦定理可得：
解得：
所以
，所以是直角三角形，
又
为的中点，所以
,又，所以
为等边三角形，
所以
，所以，又
平面，
平面，
所以平面.
（2）由（1）可知
，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
.
所以
，
，
.
设
为平面的法向量，则
，即
设
，则
，
，即平面的一个法向量为
，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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