Question

【题目】如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）证明：点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.

（1）在棱上取点，使得，连接、、、，

在长方体中，且，且，

，，且，

所以，四边形为平行四边形，则且，

同理可证四边形为平行四边形，且，

且，则四边形为平行四边形，

因此，点在平面内；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，，，

设平面的法向量为，

由，得取，得，则，

设平面的法向量为，

由，得，取，得，，则，

，

设二面角的平面角为，则，.

因此，二面角的正弦值为.