Question

6．已知△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，若cos²（$\frac{π}{2}$+A）+cosA=$\frac{5}{4}$，b+c=$\sqrt{3}$a，求∠A，∠B，∠C的大小．

Answer 1

分析 已知第一个等式利用诱导公式及同角三角函数间基本关系化简求出cosA的值，确定出A的度数，第二个等式利用正弦定理化简，把∠B=120°-∠C代入，整理求出C的度数，即可确定出B的度数．

解答 解：已知等式cos²（$\frac{π}{2}$+A）+cosA=$\frac{5}{4}$，整理得：sin²A+cosA=1-cos²A+cosA=$\frac{5}{4}$，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°，
把b+c=$\sqrt{3}$a，利用正弦定理化简得：sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA=$\frac{3}{2}$，
由∠B+∠C=120°，即∠B=120°-∠C，
∴sin（120°-C）+sinC=$\frac{3}{2}$，
整理得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC=$\frac{3}{2}$，
与sin²C+cos²C=1联立得：sinC=1，cosC=0或sinC=$\frac{1}{2}$，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠C=30°或90°，
则∠A=60°，∠C=30°，∠B=90°；或∠A=60°，∠C=90°，∠B=30°．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．