Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$，点O为坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$与$\overrightarrow{i}$的夹角，则$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+…+$\frac{co{sθ}_{2015}}{sin{θ}_{2015}}$的值为$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 由题意易得$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而由裂项相消法可得．

解答 解：由题意可得90°-θ_n是直线OA_n的倾斜角，
∴$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{sin（90°-{θ}_{n}）}{cos（90°-{θ}_{n}）}$=tan（90°-θ_n）
=$\frac{f（n）}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+…+$\frac{cos{θ}_{2015}}{sin{θ}_{2015}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及裂项相消法求和，属中档题．