Question

在平面直角坐标系xOy中，点A在圆x²+y²-2ax=0（a≠0）上，M点满足，M点的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若直线y=x-1与曲线C交于P、Q两点，且，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据向量关系，可得M与A坐标之间的关系，利用点A在圆x²+y²-2ax=0（a≠0）上，即可求得曲线C的方程；
（II）将直线y=x-1与曲线C联立，利用韦达定理及，建立方程，即可求a的值
解答：解：（I）设M（x，y），A（x，y）
∵M点满足，
∴（x，y）=（x-x，y-y）
∴
∵点A在圆x²+y²-2ax=0（a≠0）上
∴（x）²+（y）²-2a×x=0（a≠0）
∴曲线C的方程为x²+y²-4ax=0（a≠0）；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
将直线y=x-1代入x²+y²-4ax=0，整理得2x²-2（2a+1）x+1=0
∴，x₁+x₂=2a+1
∴
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂=-1
∴
∴a=1．
当a=1时，△=6²-8＞0
∴a的值为1．
点评：本题重点考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定动点坐标之间的关系，将向量关系转化为坐标之间的关系．