Question

(本小题满分14分)

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=其中λ为实数，n为正整数。

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和。是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有

a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）见解析。

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）证明；假设存在一个实数，使是等比数列，则有，

即矛盾。

所以不是等比数列。

（Ⅱ）解：因为

又，所以

当时，些时不是等比数列；

当时，由上可知。

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18,b_n=0,S_n=0,不满足题目要求.

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=-

要使a<S_n<b对任意正整数n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺)               

   ①

当n为正奇数时，1<f(n)

∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+18),<

当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；

当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。

第（Ⅰ）问问的是证明 “不是等比数列”，这样的问题显然用“反证法”；第（Ⅱ）正着问，那就顺着推；第（Ⅲ）问要先求和再解建立不等式。