题目内容

12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3bcosC=(5a-3c)cosB.
(1)求tanB的值;
(2)若a=c,且△ABC的面积为S=10,求边b.

分析 (1)由已知化简可得3sinA=5sinAcosB,即可求得sinB的值;
(2)由三角形面积公式可求a,由(1)得cosB=$\frac{3}{5}$,从而可由余弦定理解得b的值.

解答 解:(1)∵已知3bcosC=(5a-3c)cosB.
∴由正弦定理可得:3sinBcosC=(5sinA-3sinC)cosB,
即有3sinBcosC+3sinCcosB=5sinAcosB,
∴3sin(B+C)=3sinA=5sinAcosB,
∵A为△ABC的内角,有sinA≠0,两边同时除以sinA,可解得cosB=$\frac{3}{5}$,
∴sinB=$\frac{4}{5}$.tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{4}{3}$.
(2)∵由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB,…①
又∵已知S=10,a=c,
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×{a}^{2}×\frac{4}{5}$=10.可解得a=5,
由(1)知cosB=$\frac{3}{5}$,
∴由①可得:b2=a2+a2-2a2×$\frac{3}{5}$,从而解得:b2=$\frac{4}{5}{a}^{2}$=20,解得b=2$\sqrt{5}$.

点评 本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用,考查了两角和的正弦函数公式的应用,属于基本知识的考查.

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